Kerr-Metrik

Die Kerr-Metrik ist eine stationäre und axialsymmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen. Sie beschreibt die Raumzeit und damit auch das Gravitationsfeld eines ungeladenen und rotierenden Schwarzen Loches. Sie ist nach Roy Kerr benannt, der sie 1963 veröffentlicht hat.^[1] Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen Schwarzen Löchern gefunden. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik, die auch im Außenbereich eines nichtrotierenden und sphärisch-symmetrischen Körpers beliebiger Ausdehnung gilt, beschreibt die Kerr-Metrik im Wesentlichen die Raumzeit eines Schwarzen Lochs, denn schnell rotierende Sterne haben oft ein nicht zu vernachlässigendes Multipolmoment und unterschiedliche Dichtegradienten,^[2] sodass sich deren Raumzeit-Geometrie erst in einem gewissen Abstand von der Oberfläche des Sterns an die Kerr-Metrik annähert.^[3]

Die Kerr-Metrik enthält neben den vier raumzeitlichen Koordinaten auch zwei Parameter, die für die gravitierende Masse ${\displaystyle M}$und den Drehimpuls des Schwarzen Loches stehen. Der Parameter ${\displaystyle M}$ legt die felderzeugende, gravitierende Masse inklusive der Rotationsenergie fest. Der Parameter ${\displaystyle a}$ wird auch Kerrparameter genannt. In geometrisierten Einheiten mit ${\displaystyle G=c=1}$ berechnet sich der Drehimpuls ${\displaystyle J}$ des Schwarzen Loches gemäß ${\displaystyle J=aM}$. Wird einem Schwarzen Loch mithilfe des Penrose-Prozesses,^[4][5] seine gesamte Rotationsenergie entzogen, reduziert sich seine gravitierende Masse ${\displaystyle M}$ auf die irreduzible Masse ${\displaystyle M_{\mathrm {ir} }}$. ${\displaystyle M}$ ist also eine Funktion der irreduziblen Masse und des Drehimpulses. Ein positiver Drehimpuls beschreibt vom Nordpol aus betrachtet eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn. Ein negativer Drehimpuls beschreibt die entgegengesetzte Richtung.

In den folgenden Abschnitten werden für die weitere Beschreibung der Eigenschaften eines rotierenden Schwarzen Loches immer geometrisierte Einheiten und Boyer-Lindquist-Koordinaten verwendet. Boyer-Lindquist-Koordinaten sind verallgemeinerte Kugelkoordinaten. Diese enthalten neben einer zeitartigen Koordinate ${\displaystyle t}$ demnach auch eine radiale Koordinate ${\displaystyle r}$, die im Folgenden häufig verwendet wird.

1. ↑ Roy P. Kerr: Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics. In: Physical Review Letters. Band 11, 1963, S. 237–238, doi:10.1103/PhysRevLett.11.237. 
2. ↑ Masaru Shibata, Misao Sasaki: Innermost stable circular orbits around relativistic rotating stars. (PDF; 220 kB).
3. ↑ Nikolaos Stergioulas: Rotating Stars in Relativity. (PDF; 700 kB) S. 16, Kapitel 2.8, arxiv:gr-qc/0302034.
4. ↑ Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation. S. 899 f., 908.
5. ↑ Bhat, Dhurandhar, Dadhich: Energetics of the Kerr-Newman Black Hole by the Penrose Process. S. 94 ff.